（三）证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用普通布朗运动来描述：
其中，S表示证券价格μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率,δ^2表示证券收益率单位时间的方差,δ表示证券收益率单位时间的标准差或简称证券价格的标准差或简称证券价格波动率遵循标准布朗运动。
从（11.1）和（11.5）可知，在短时间汾后，证券价格比率的变化值δS/S为：
可见，δS/S也具有正态分布特征，其均值为μδt，标准差为σ√δt，方差为σ^2δt。即
（11.5）所描述的随机过程也称为几何布朗运动，其中μ和σ的大小取决于时间计量单位。在本书中，若无特别说明，通常以年为时间的计量单位。
下文将证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率(μ)无关，证券价格的波动率(σ)对于衍生证券的定价则相当重要。可通过观察历史数据，确定证券价格的概率分布，计算出证券价格的波动率。公式中，我们把σ视为常数。实际上，σ会随时间变化而变化。因此，利用历史数据估计σ值时，应尽量用最新一段时间的数据，而且要注意这只是一种近似。
例6,某种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率为20%（年连续复利），其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。
根据题意μ=0.20，σ=0.18，S=100其股价变动过程为：
上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样值。
(四)依托过程和依托引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量:r的漂移率和方差率当作变量:r和时间f的函数，就可以从公式(11.4)得到依托过程：
dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz (11.7)
其中，dz是一个标准布朗运动，a，b是变量x和Z的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b^2。
若变量x遵循依托过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
(11.8)就是著名的依托引理
从(11.5)可以得到：
dS=μSdt+σSdz (11.9)
衍生证券的价格是标的证券价格S和时间f的函数。根据依托引理，衍生证券价格G遵循如下过程：
比较(11.9)和(1L10)，衍生证券价格G和标的证券价格S都受同一个不确定性来源的影响。这一点对于推导衍生证券的定价公式很重要。
(五)证券价格自然对数变化过程
令，G=lnS，
由于：
上式说明证券价格对数G也遵循普通布朗运动，具有恒定的漂移率（μ-σ^2/2）和恒定的方差率σ^2。因此，在当前时刻t和将来某一时刻T之间对数
G的变化是服从正态分布的，其均值为（μ-σ^2/2）(T-t)，方差为σ^2^（T-t）。
令，T时刻G的值为lnST,t时刻G的值为InSt。则
也就是说，证券价格对数的变化呈正态分布。
如果一个变量的自然对数服从正态分布，则这个变量服从对数正态分布。
根据正态分布的特性，从（11.11）可以得到：
这表明lnST服从对数正态分布，从而ST也服从对数正态分布。lnSr的标准差与√（T-t）成比例，这说明证券价格对数的不确定性（用标准差表示）与未来时间的长度的平方根呈正比。
例7,设某股票的当前价格为50元，预期收益率为年18%，波动率为每年20%。该股票价格遵循几何布朗运动，且该股票在6个月内不付红利。计算该股票6个月后的价格的概率分布，并计算该股票价格的期望值和价格的标准差。根据题意，ST服从对数正态分布，6个月后Sr的概率分布为：
半年后，该股票价格的期望值为54.71元，标准差为√60.46或7.78。
