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期货入门知识-金融期权价格:二项式期权走价棋型之n时期

时间:2018-10-25 17:03:40  来源:金融期货与期权  本篇文章有2205字,看完大约需要7分钟的时间

期货入门知识-金融期权价格:二项式期权走价棋型之n时期

时间:2018-10-25 17:03:40  来源:金融期货与期权

金融期权价格基础知识:二项式期权走价棋型

二项式模型或二项式期权定价模型(BinomialOptionPricingModel)是由卡克斯(Cox)、罗斯(Ross)和罗宾斯泰因(Rubinstein)于1979年在《金融经济学杂志》发表的文章中提出的。后来卡克斯和罗宾斯坦因(1985年)又对之进行了改进,形成了较完.整的理论范式。

n时期的二项式模式

(一) 风险中性假设

根据前文,一时期和二时期的二项式模型中所涉及的p心显然并不是未来期权价格某一取值的实际概率,但如果我们把其看作价格的某个取值的概率,则二项式期权定价模型的结果显然可以表述为:不管是一期模型还是二期模型,风险资产期权的二项式定价的结果相当于在此概率下,期权价格的期望值以无风险利率贴现的现值。

把p看作期权价格取值的概率,把无风险利率作为折现率,实际上假想了一个空间,这个空间称为风险中性世界。在这个世界里,所有的人对风险采取无所谓的态度,既不偏好风险,也不厌恶风险。即所有人都是风险中性的。风险中性投资者对各种风险程度不同的资产所要求的预期收益率都是一样的。不管其风险如何,投资者都不需要风险补偿。因此,对所有资产所要求的预期收益率与无风险资产的收益率相同。这就是说,风险中性的投资者投资于任何资产所要求的收益率都是无风险收益率。

在一个假想的风险中性的世界里,所有的市场参与者都是风险中性的,那么所有的资产不管其风险大小如何或是否有风险,收益率都相同,并等于无风险利率。而且所有的资产现在的市场均衡价格都是未来预期值用无风险利率折现后的现值。这就是风险中性定价原理。二项式模型中的p实际上就是风险中性概率。

风险中性假设的确切含义为:如果对于一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关,则可以将问题放到一个假设的风险中性世界里进行分析,所得的结果在真实世界里也应当成立。

只要找到一个风险中性概率,那么风险中性假设就可以大大简化问题的分析,因为这时所有资产的均衡定价只需要按照风险中性概率算出未来收益的预期值,再以无风险利率折现得到。无套利均衡分析方法不涉及参与者的风险偏好,因此适合于风险中性假设的分析方法。从上面的模型知道,无套利和风险中性定价存在相互依存的关系。

(二) n时期的风险中性定价模型

假定某一种股票每隔一短时期价格就会上升为原来的《倍,或下降为原来的^倍。以该股票为标的资产的欧式看涨期权的协议价格为X,其到期期限将跨越n个这样的短期。如何确定该期权期初的价格呢?

n时期的风险中性定价模型

一期模型中,期权到期价格有(1+1=)2种可能;两期模型中,期权到期可能的价格有(2+1=)3个。以此类推,在二项式模型假设下,跨越n期的看涨期权到期可能的价格有n+1个。

在跨越的n期中,股票价格不是上升,就是下降。因此,如果有1次上升,则必然有n—1次下降。以j表示上升的次数,则下降的次数为n-j则任意一个到期可能价格可以表示为:

ST=Su^j*d^(n-1)

因此,任一看涨期权到期可能的价格表示为:Max(Su^j*d^(n-1)—X,0)

再次,以p表示风险中性假设下股票价格一次上升的“概率”,则(1一p)表示一次下降的概率。所以,上升j次,下降n—j次的概率为:

p^j*(1-p)n-j

除了n次全部上升和n次全部为下降的情况,其他情况发生的路径都不止一条。其路径的条数等于n次中选取j次上升的排列数,即:

n!/[j!(n~j)!]*p^j*(1-p)n-j

综上,看涨期权到期期望价值为:

看涨期权到期期望价值

看涨期权到期期望价值

二项式模型的一个最直观的不足,是每一期的结果只有两种可能。而现实中股票到期价格往往有多种可能性。通过以上分析,可能的股票价格与期权价格可能值的个数与期数有关,即为n+1。我们完全可以通过缩短每期的时间长度,增加期数,以增加可能的股票价格与期权价格取值个数,以使模型的描述更接近于现实。

然而,随着每一期时间长度的缩短和期数的增加,我们必须重新考虑原来模型中的变量。其中,最为重要的是u和d的确定。既然u和d在期权有效期内保持不变,那么,随着期数的增加,u和d的偏差会被成倍扩大。所以新确定的u和d,必须保证经过无数次的升降之后,在期权的有效期末,股票和期权价格符合预期情况。

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