在上一章中，我们曾提到根据理论假设的“最优比例”的概念，风险比例越接近这一数值，得到的利润就越多。这一数值是利用一个完全抽象的方法——凯利公式得到的。
约翰.凯利是一位在贝尔实验室工作的杰出的物理学家。他的研究帮助AT&T电信公司成功地解决了长途电话的干扰问题。1956年7 月，这种方法被发表于《贝尔系统技术》期刊上，文章题为“信息速率的另-种解读",还有凯利本人的签名。虽然:这一-研究成果在网上很容易找到，但我觉得，只有那些真正爱好数学的人才能够感受到其中的精妙之处:我个人对这一理论也并没有特别深入的研究。
早些时候，只有一些专业的玩家才使用这一研究成果，以此来决定投往资金的比例，力求使利润最大化。
凯利的研究需要考虑具体环境中不同事件的分布情况。比如需要考虑系统获胜的次数，即赢利与亏损相比是多还是少，以此来确定使利润最大化的最优比例。
实际上，科学家可以整理系统数据，以便确定最优方法。在凯利的研究中，充分考虑了系统获胜的可能性，或者说获胜的比例，此外还有获利额与亏损额。如果一个系统在100次交易中赢了40次，输了60次，那么它获胜的比例就是40%;如果玩家们在赌赢时的获利额为4欧元，赌输时的亏损额为2欧元，那么此种情况的赔率即为4/2=2。这些都是用来确定适用于一般系统的最佳方法的基本数据。
假设:获胜率为W,赔率为R,根据凯利公式，应投注的最优资金比例即为:
K%=W_I-W
R当然，也可以写成:
K%=(R+1)xW-1R
我们来举几个例子，用最初抛硬币的方法来分析这一问题。在这种游戏中，我们都知道，理论上获胜的可能性为50%，因此W=0.5;而赔率R就要取决于具体的游戏规则了。
在上一章中，我们可以发现，如果获利额未超过亏损额的话，最终结果将不容乐观，尤其对于获胜率为50%的情况而言。让我们来看看，在获利额和亏损额都为1欧元的情况下，使用凯利公式之后得到的结果。在这种情况下，R即为1,或者R=1/1,获利和亏损的平均值都为I; W总是0.5,这是抛硬币中的理论获胜比率。
因此:
K%=(+1)05-11=2x0.S-1_1-L=0
实际上，凯利公式告诉我们，上述情况下的最优结果就是零亏损，这也刚好是我们之前假设的。
现在，我们来计算一下，在不同情况下使用凯利公式得到的最优比例。假设每次的获利额为1.25欧元，亏损额为1欧元。
我们即可得出:
R=1.25/1=1.25
W=0.s
K%=(1.25+1)x0.5-11.25=2.25x0.5-1_ 1.125-1_ 0.1251.25 1.25 1.25 =0.1或10%
凯利公式告诉我们，对于获胜比率为50%、每次获利额为1.25 欧元，损失额为1欧元的游戏，每次投注总资金的10%.就能使利润最大化。
图2.1显示的是100次和1000次交易中,不同的投注比例导致的不同结果，我们可以发现，100次交易后，投注资金比例为30%的情况获利最多，与25%的获利额非常接近;使用凯利公式计算得出的最优比例为10%，但这种情况下并没有得到最理想的结果。
我们再来看一下1000次交易之后的结果。可以清楚地发现，这时候凯利公式才真正开始发挥作用。实际上，10%是迄今为止投注的最大比例。
为何会有如此大的差别呢?这是因为凯利公式假设的是抛硬币方法，这是一个完美的系统，100次中输赢的次数都为50次。从我们之前列举的例子中可以发现，前100次交易的结果与此有很大不同，100 次中赢了60次，在这种情况下，获胜率为60% (因此W=0.6)。即
R=1.25 W=0.6
K%=(1.25+ Ix0.6-11.25= 2.25x0.6-1_1.35-1= 0.35 =0.28或28%
1.25 1.25 1.25
根据凯利公式，我们可以发现，对于获胜率为60%、获利额为1.25 欧元、损失额为I欧元的交易来说，当投注资金的比例为28%时，获利最多。实际上,图2.1说明，获利峰值处于25%和30%之间。显然,这是题外话，它仅仅是单纯的数学计算:类似于抛硬币一样的交易体系，从理论上来说，输赢的概率都为50% (并且不同的结果使我们无法了解可能的抛掷顺序)。让我们回过头来看看那次模拟交易中的抛掷，可以看出，前100次抛掷之后，重新开始恢复平衡，直到1000次抛掷输赢的比率为509:491。
现在让我们以此为例，分析一下获利额为1.5欧元、亏损额为1欧元的结果。图2.2是交易的最终情况。
在这种情况下，凯利公式告诉我们:
R=1.5W=0.5
K%=(1.5+1)x0.5-1_ 2.5x0.5-1_ 1.25-1- 0.25-=0.1667或16.7%
1.5 1.5 1.5一1.5
可以发现，在1000次交易之后，把投注资金比例设定在15%~20%之间的玩家获利最多(在这种情况下，16.7%仍然略 显保守，因为此时的获胜率不是50%，而是50.9%)。
在前100次抛掷中，最大获利额所对应的投注资金比例相对要高一些，为了满足本人的好奇心，我们现在把W设定为0.6,得到如下结果:
K%=(1.5+1)x0.6-1 = 2.5x0.6-1 _1.5-1 0.5=0.3333或33.33%
1.5 1.5 1.51.5
可以看出，当我们把投注资金比例设定为30%~35%之间时，所获利润最多。
从以上结果可以看出，实际情况比理论预期要好得多。因此，如果不结合实际，而是一味根据凯利公式来操作的话，可能会让我们错失很多良机。
1000次抛掷仍然是远远不够的，要想使正反面出现的概率各为50%，就要进行无数次的抛掷。图2.3中描述的是一种普遍情况:正如我们所见，不论是前100次抛掷，还是1000次抛掷，获胜率都低于50%这一理论数值。 这一情况中赌赢时的获利额为1.25 欧元，那么根据凯利公式，我们应该把投注资金比例始终设定为10%。 那么我们就立刻可以发现，虽然这种选择并非最优选择，但最终仍然是获利的:这时我们所拥有的资金是初始资金的194%，而如果我们把投注资金比例设定为5%,最终将获利710%。
在采用以上交易方法时只要充分考虑其中的风险就足够了。的确存在实际结果有比我们预想的要好，从而导致我们错失良机的情况;但我们不要忘了，同时也有
一些实际情况比我们预想的要糟，这就会给我们带来难以承受的意外损失。
从图2.4可以看出，我们的玩家也许刚刚学会使用凯利公式，在100次抛掷之后他们或许会跟朋友们吹牛，当资金比例为10%的时候，获利最多，这时凯利公式就会应验。但在1000抛掷之后呢?相信他们在最终只剩下3欧元的时候，就无话可说了。 对于他们来说， 形势发生了逆转， 获胜率仅有 45.6%。虽然这只是一个小概率事件，但我们也要有所考虑。
现在我们将凯利公式运用到上一章的取球游戏中，看看会出现什么结果。
在取球游戏中，只有抽到白球才算获胜，因此获胜率为1/3。我们假设每抽到一个白球就赢得3欧元,没抽到白球，就损失1欧元，可以得到以下结果:
R=3W=0.333
: (3+1)x0.333-1_ 4x0.333-1一1.333-1_ 0.333,-=0.1111或11.11%
3 3
得到的11.11%就是我们上一章中所谓的“最优比例”。
K%=
R=3W=0.333
(3+1)X0.2727-1_ 4X0.2727-1 _ 1.0909-1 _ 0.0909 ;
3 3
滞后的数学计算再次验证了赌注结果，将投注资金比例设定为3%的玩家，在99次之后，形势会朝着对他们有利的方向发展。
999次之后的情况大为不同，白球实际出现的次数(331次)与理论值(333次)非常接近。在这种情况下利用凯利公式，就会使资金以最快的速度增长。
值得强调的是，前99次的形势对玩家们非常不利，将投注资金比例设定为11.11%的玩家在99次抽取之后，手中只剩下49.02欧元;但是，保持这一比例继续操作，在取球999次之后就会得到图2.5右侧的结果。图2.6显示的是另一种类型的取球游戏，每次投注1欧元，如果赢了就获利2.5欧元(上一种游戏中的获利额为3;欧元)。对于凯利公式来说，R=2.5, 显然W为0.333。即:
R=2.5W=0.333
K%= (2.5+1)X0.333-1_ 3.5X0.333-1_ 1.1667-1 = 1.667-0.0667或6 67%
2.5 2.5 2.5 2.5
可以发现，在这种情况下，前99次取球的实际结果比预期要好。实际上，那些将投注资金比例设定得越高的人，要比严格按照凯利公式操作的人获利多。但是在999次取球之后，二者的获利几乎相同，证明了那些利用凯利公式计算得到的比例进行交易的人是正确的。
图2.7中也是同样的取球游戏，但是每赢一次获利3欧元，每输一次损失1欧元，运用凯利公式计算出来的“最优比例”为11.11%，和之前的情况类似。
因此，我们可以看出，运用凯利公式计算出来的“最优比例"，可能给我们带来非常可观的收益，当然，也可能与实际情况有一定的偏差。
从另一个方面来说，玩家的主要目的是最多的获利。然而显而易见的是，每种方法中都存在让玩家出局的可能。
运用凯利公式来确定投注资金比例的方法，曾被运用于“21 点"和其他的概率游戏中(实际上一些游戏的规则已经发生变化，它们使方法变得毫无效用)。更有意思的是，还有一些研究将获利的可能性与方法的安全性相对比，最后得出“最佳比例应为凯利公式计算得到比例的一半”。 如果对之前所有的结果做一个系统分析，我们就能发现，保守的方法可以带来更多的安全保证。
图2.7与前一种情况相同，在前99次取球中，投注资金超过利用凯利公式计算得到数额的交易者盈利最多，但在99次到999次之间，这一结果又逐渐趋于平衡，这告诫我们还是应该遵循凯利公式操作。
凯利本人的研究结果给投注资金比例的选择问题赋予了一种数学解决方法，但是只有在已知获胜率和赔率的情况下，才能计算出“最优比例”。 利用这种方法得到的结果有时是非常惊人的，这显示出凯利公式的巨大威力。
然而，正如我们所知，理论和实践还是有一定差别的。对可能性的理论计算结果并不总是与实际相符(或者说“从来没有相符过”)。当然，一些实际结果比预期要好，但与此同时，也有一些结果不如预期。为了更好地从失败中修正错误、吸取教训，我们绝不能一味地依赖于理论数据，而是要把它作为一种参考依据，结合实际情况来处理现实问题。
上述方法都曾被应用于一些与概率的计算相关的经典游戏中。但是我们要深入探讨的是交易问题，所以现在我们就要转移到这个领域，检验以上方法能否应用于实践，并帮助我们获利。
