分形定义
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的，1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100千米长的海岸线与放大了的10千米的海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层等，曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形((Fractal)。1975年，他创立了分形几何学，并在此基础上形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
有关分形的定义如下：
定义1：如果一个集合在欧氏空间中的Hausdorff维数D H恒大于其拓扑维数D T即：D H>D T,则称该集合为分形集，简称为分形。
定义2：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。
对于定义1的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。定义2比较笼统地说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。这一比较模糊的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。
自相似原则
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。其表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。由于自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，如Koch雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形。有规分形是指具体又严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，如三分康托集、Koch曲线等。无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，如曲折连绵的海岸线、飘浮的云朵等。
