学术研究采取的方法中有一个问题，其将风险视为投资收益与市场平均收益之间的偏差。但是如果我们的目标就是让投资收益背离市场平均收益水平呢?要实现这个目标有多困难呢?我们可以用样本统计理论来计算一个给定规模的投资组合接近或背离市场平均收益的可能性。
标普500是一个很著名的股票市场指数，包含了美国500家最大的上市公司。我们先建立一个权重相等的总收益情况的标普500投资组合( S&P 500EW)。这个投资组合中包含500只股票。每一只股票对整个投资组合收益的影响相同(总收益情况也意味着指数包含分红)。我们}假设指数基金不存在，而且我们买不起500只股票。那我们需要买进多少只股票才能大略地追踪S&P 500 Ew的收益情况呢?那些随机挑选的股票，其收益情况符合或者逊色于S&P 500 EW收益情况的可能性有多大呢?我们可以用统计数据来回答这些问题。
在统计学中，如果我们希望了解人群的某一信息，比如加利福尼亚州男性的平均身高。但是由于成本或者其他的现实原因，我们不可能测量加利福尼亚州每一位男性的身高。但我们可以通过只测量人群中一小部分男性的身高，比如说1000名随机挑选的男性，来构建一个简单随机样本。之后，我们利用包含1000名男性的样本，推断出整个加利福尼亚州的男性平均身高。
我们的预想是用挑选的样本作为全部人群的代表，但是有可能样本人群的平均身高高于或者低于其他人群的平均身高。统计学家告诉我们，样本人群的平均身高与加利福尼亚州全部男性的平均身高之间的偏离程度就是样本误差。其他条件-致的情况下，样本规模越大，样本误差越小。在这个例子中，全部人群就是S&P500 EW,它包含了500只股票,我们感兴趣的是这个投资组合的收益情况;而样本人群则是我们持有的投资组合。我们想要知道，对于一个给定的投资组合，其收益情况符合或者逊色于S&P 500 EW收益情况的可能性究竟有多大。
