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如何将蒙特卡洛方法运用到期权定价中?关于亚式股权的解读

时间:2018-10-01 13:27:26  来源:亚式期权  本篇文章有9265字,看完大约需要31分钟的时间

如何将蒙特卡洛方法运用到期权定价中?关于亚式股权的解读

时间:2018-10-01 13:27:26  来源:亚式期权

美式期权和欧式期权的区别

蒙特卡洛方法又称随机抽样或统计试验方法,属于计算数学的一个分支,最早应用于20世纪40年代中期的原子能领域。

蒙特卡洛方法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,利用随机数(实际应用中通常为伪随机数)来产生随机的基于一定分布假设的数字序列,进而解决各种计算问题。通过对问题的结果分布进行假设和拟合,利用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征,故借用赌城蒙特卡洛命名。

从理论上来说,蒙特卡洛方法需要大量的实验。实验次数越多,得到的结果才越精确。计算机技术的发展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。

现代的蒙特卡洛方法,已经不必亲自动手做实验,而是借助计算机的高速运转能力,使得原本费时费力的实验过程,变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题,也被项目管理人员经常使用。

借助计算机技术,蒙特卡洛方法兼具了两大优点:一是简单,省却了繁复的数学推导和演算过程,使得一般人也能够理解和掌握;二是快速,简单和快速是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。

在实际应用中,蒙特卡洛方法通过执行统计抽样实验来解决各种数学问题,提供了近似的解决方案。在金融行业数量化工具的设计和定价中蒙特卡洛方法被广泛运用,如为一些难以求出解析解的奇异期权进行定价。

有些投资者不太清楚蒙特卡洛方法在期权定价领域里面的必要性,事实上产生这样的疑惑和国内期权市场发展情况息息相关。国内期权市场发展落后于欧美发达国家,场内期权数量屈指可数,相关的指数和资产管理产品寥寥无几,同时场外期权主要交易的品种也以简单的香草期权(vanillaoptions)为主,夹杂少量特殊定制的奇异期权。

由于接触的大多是已经有解释解,或者说期权交易和对冲中的希腊字母相对容易计算的期权品种,无论是投资者还是大量金融机构的从业人员对相对复杂的期权品种的定价以及希腊字母的计算方式还是比较陌生的。

实际上在交易者频繁交易各种奇异期权的国外市场,蒙特卡洛方法是相当常用而且具有实战意义的定价方式。下面我们以最为简单的美式期权展开讨论:

美式期权与欧式期权相对应,其持有者有权利在期权续存期内的任意时间行权。在国外成熟的交易市场,绝大部分交易的期权合约都是美式的。相比而言,欧式期权的定价更加容易,实际情况中,交易者会考虑利用相似的欧式期权的价格对美式期权价格进行推导。

假设C为美式期权价格,c为对应的欧式期权价格。显然,由于美式期权和欧式期权的持有者的权利不同,两者必须符合以下规律:

一是由于持有者可以在存续期内任意时间行权,实值美式期权价格C必须不低于该期权的内含价值,也就是当前美式期权行权的收益。

二是无论看涨看跌,美式期权的价格都必须高于对应的欧式期权价格。在同等情况下,对应的欧式期权价格为美式期权价格的下限,即C≥c、P≥p。

三是美式期权同时满足期权价格的平价公式(Put-CallParity),其中无分红美式期权应满足以下公式——S0-K≤C-P≤S0-Ke-rT。

理论上,由于控制风险的暴露、节省现金、减少时间价值的损失等原因,无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。但在实际情况中,根据交易者具体对行情的判断,美式看涨期权仍然存在提前行权的可能。

从数学理论的角度而言,根据前文提到过美式期权和欧式期权价格的规律,可以得出结论C≥c≥S0-Ke-rt,由于r>0及t>0,显然C>S0-K,故理论上无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。

由于无分红情况下的美式看跌期权存在理论上的提前行权的可能性,如深度实值的时候,故对美式期权的定价而言,主要的挑战和难点集中在美式看跌期权的定价上。

美式期权的定价

美式期权的定价问题实际上是一个最优停时问题,也就是说,关键在于寻找执行期权收益比继续持有期权的期望收益大的瞬间。

假设存在Lt,当St≤Lt时执行期权收益比继续持有期权大,而St>Lt时提早执行期权不是一个最优选择的情况下,Lt被称为执行界限。而对于以下最优停时问题:有基于最优停时τ*的最优解。

显然,对于美式期权的持有者而言,收益最大化的选择便是在St首次小于或等于Lt的时候执行期权。

由于实际上很多奇异期权难以求得解析解,本文聚焦于更具普适性的计算方法。在实际应用中,用于美式期权定价的计算方法主要为二叉树法和本文主要的研究对象——蒙特卡洛方法。

这两种方法都是基于离散时间点进行模拟分析,考虑离散时间0=t0<t1<……<tm=T,假设美式期权在上述时间点才能行权,也就是一个百慕大期权。若每个行权时间点之间的时间间隔足够小,则可以通过百慕大期权的离散定价来逼近美式期权的价格。

蒙特卡洛方法

假设Vi(x)为在ti时刻、标的价格为x的期权的价格,显然Vi(x)也可以代表在其他假设不变的情况下,在ti时刻新签发的、标的初始价格为x、期权续存期为(T-ti)的期权的价格。Di为ti时刻和ti+1时刻之间的折旧因子。

显然,在实际应用中,如果要利用蒙特卡洛方法来进行定价,除了需要对标的价格的走势进行模拟以外,还需要求解上述递推方程中的E[Di-1Vi(xi)Xi-1=x]。

下文将介绍求解E[Di-1Vi(xi)Xi-1=x]的核心思路,以及结合实际案例,运用蒙特卡洛方法对美式看跌期权进行定价。

Longstaff-Schwartz方法

前文提到,求解E[Di-1VixiXi-1=x]是利用蒙特卡洛方法对美式期权定价过程中的主要难关。下面我们将通过一个简单的例子来让读者对E[Di-1VixiXi-1=x]有一个直观形象的理解,从而引入求解该问题国际上的主流方法——Longstaff-Schwartz方法。

表为模拟标的价格

假设一个简单的美式看跌期权,其中标的的初始价格与行权价格均为100,无风险利率为1.5%,年化波动率为20%,期权续存期长度为1年。设相等时间间隔的两个行权时间点t1和t2,显然t1=0.5,t2=1。对标的价格进行100次模拟,得出两个时间点上标的的模拟价格,并求出期权期末行权的收益折算到t1时刻的数值,作为t1时刻的继续持有期权的期望收益。

对t1时刻的标的的模拟价格和继续持有期权的期望收益作散点图,同时我们用一条四阶的多项式方程,C1St1,t1=b0+b1St1+b2St12+b3St13+b4St14,来拟合t1时刻的标的的模拟价格和继续持有期权的期望收益之间的关系。从下图可以看出,多项式方程能够很好地描述两个变量之间的关系。

t1时刻标的模拟价格与继续持有期权的期望收益的散点表现

图为t1时刻标的模拟价格与继续持有期权的期望收益的散点表现

由此可以得出Longstaff-Schwartz方法的核心思想,即180627C5.JPG,其中βir为常数项,Ψr为被选择的基础函数。选择基础函数是该方法应用中的一个挑战,不同的基础函数会产生不同的拟合结果。基于泰勒展开的思想,实际应用中多项式函数常被选为基础函数,而其他的一些特殊函数也会被选作为基础函数。

事实上Longstaff-Schwartz方法中的基础函数类似于支持向量机(SupportVectorMachine)中的核函数,只是在Longstaff-Schwartz方法中没有考虑到支持向量的问题,可以看作为支持向量机的一个原始模型。所以Longstaff-Schwartz方法中的基础函数其实有非常多的候选函数,像径向基核函数(RadialBasisFunction)和Sigmoid函数都是可以用于实战的。如前文提到,不同的基础函数会导致不同的拟合效果,故实际应用时基础函数的选择仍需要读者根据实际应用情况进行选择,本文仅选用简单有效的多项式函数作为基础函数进行讨论。

应用蒙特卡洛方法对美式看跌期权进行定价

根据前文所述,没有分红的情况下美式期权的定价的难点主要集中在美式看跌期权,而实际定价中的主要问题是如何求解每一个时间点上继续持有期权的期望收益。接下来我们将为大家详细介绍利用蒙特卡洛方法,结合Longstaff-Schwartz方法对美式看跌期权进行定价的主要过程。

为了方便广大读者的实际使用,下面的讨论会基于实际测试的VBA代码展开,所提供的VBA代码可以稍加修改之后投入到实际应用中。

通过蒙特卡洛方法对标的价格进行模拟

首先输入具体数据,需要的数据包括标的初始价格、期权执行价格、无风险利率、标的年化波动率、期权续存期、行权时间点个数m以及模拟次数b。

根据输入的数据,进行b次随机模拟,每次生成长度为m的随机模拟标的价格序列,每个模拟的时间点之间的间隔长度为dT(dT=期权续存期/m),计算并记录基于每次标的价格走势模拟的期权期末行权收益。由于期末的期权没有继续持有的选项,故期权的价格可以简单求得,并作为整个反向计算过程的初始值。此处应记录的期权期末行权收益值应共有b个。

通过回归求出继续持有期权的期望收益

根据Longstaff-Schwartz方法,我们可以把ti+1时刻的期权价格的折旧值作为因变量,利用多项式方程对ti时刻的标的价格和ti+1时刻的期权价格的折旧值进行回归,进而求出ti时刻继续持有期权的期望收益。

若t+1时刻为期末时刻,ti+1时刻的期权价格的折旧值可以通过上一步计算得出的期权期末行权收益值折旧求得;若t+1时刻早于期末时刻,则需比较t+1时刻提前行权所能获得的行权收益和ti+2时刻的期权价格的折旧值的大小,选择较大的一方作为回归方程中的因变量。

通过不断循环上述步骤,直到求出t1时刻的期权价格并对其进行折旧,其平均值,即期权签订时期权的期望收益为美式看跌期权的价格。

小结

本文简要介绍了美式期权的定价逻辑,并推导出美式期权的定价难点集中在对继续持有期权的期望收益的求解上。

另外,本文还介绍了国际上解决这一问题的主流方法——Longstaff-Schwartz方法,通过对标的价格和下一期期权的价格的折旧值进行回归,得出对当期继续持有期权的期望收益的估计值,进而通过VBA代码展示了利用蒙特卡洛方法对标的价格的走势进行模拟,对美式看跌期权的定价过程。相比更为原始的利用嵌套蒙特卡洛方法来求解继续持有期权的期望收益的做法,利用Longstaff-Schwartz方法大大提升了定价过程的效率,减少了过程中所需要的运算量。

值得注意的是,本文中选择的基础函数是多项式函数,在实际应用中不同的基础函数会导致不同的拟合效果,故实际应用时基础函数的选择仍需要交易者根据实际应用情况进行选择。

定增股减持新规后首只定增基金到期开放的最后一周,基金行业颇为关注的流通受限股估值新规也适时发布。

昨日,中国基金业协会发布《证券投资基金投资流通受限股票估值指引(试行)》(以下简称《指引》)。《指引》给出了流通受限股票确定估值日价值的具体计算公式,并规定基金管理人和托管人必须在今年12月31日前完成相关实施工作。基金管理人应当根据法律法规及合同约定,与基金托管人协商一致后确定估值标准切换时点,并履行信息披露等义务。

值得注意的是,《指引》所称流通受限股票,是指在发行时明确一定限售期限的股票,包括但不限于非公开发行股票、首次公开发行股票时公司股东公开发售股份、通过大宗交易取得的带限售期的股票等,不包括停牌、新发行未上市、回购交易中的质押券等流通受限股票。

引入看跌期权对限售股估值

根据新的计算公式,估值日该流通受限股票的价值为估值日在证券交易所上市交易的同一股票的公允价值减去相应的流动性折扣。

流动性折扣计算上则引入了看跌期权,看跌期权的价值在估值日按平均价格亚式期权模型(AAP模型)确定。AAP模型公式综合考虑了剩余限售期、在剩余限售期内股价的预期年化波动率、预期年化股利收益率等因素。

文件出台后,有基金公司人士表示暂时对流动性折扣计算公式未完全理解。也有基金公司人士透露,流通受限股涉及的流动性折扣会由中证指数公司计算,此后将具体数值发给各基金公司,基金公司采用即可,不需要基金公司自己对流通受限股进行估值。

北京一中型基金公司的量化投资经理表示,以前持有限售的股票,有时直接用市场价格,实际是高估了。《指引》考虑了更多影响估值价格的因素,算法方面做了无风险套利组合,买入一张到期日的平价看跌期权,这个期权花费的价格是流动性受限对应的量化的成本,因而估值更加合理,防止赎回套利,从而保障持有人的利益。

估值切换或致定增基金净值波动

上海一家基金公司金融工程研究员则从金融工程的角度解释了看跌期权估值模型,“以前流通受限股的估值方法主要考虑解禁期长短,采用线性估值,估值随着解禁日临近逐渐接近个股市值,采用新的方法之后,估值和市价之间则是非线性关系。”

他进一步分析指出,不同于上证50ETF期权采用的欧式期权(行权价格已知),亚式期权的行权价格是未来一段时间的均价。在亚式期权中,过往一段时间内股价波动率越高,流通受限股估值折扣越大。例如,同样是100元买的银行类定增股和创业板定增股,银行股由于波动低,或许估值是90元,而创业板股的估值会低于90元。此外,亚式期权也会考虑到股票预期年化股利收益率,年化股利收益率越高,估值折扣越低,但考虑到A股市场股利收益率普遍偏低,按照新的估值模型,实际上影响最大的还是剩余年限和预期年化波动率两个因素。

估值新规对定增基金将产生何种影响?北京一位定增基金经理称,根据该公司此前测算,定增基金净值普遍在现有的基础上再减少1%~3%。

不过,上述基金公司金融工程研究员认为,对比老的估值指引,新的估值指引影响不一。“仍以银行股为例,若是目前市价高于定增价格,老的估值指引会按照定增价格计算估值,在市价基础上打折;而按照新的估值指引,银行股波动率低,估值相对原来价格可能会上调。”

尽管《指引》规定,基金管理人须在今年年底前完成估值切换,但基金行业人士普遍表示,为了避免预期基金净值高估,导致部分持有人先行赎回的不利影响,今年迎来开放期的定增基金或在开放申赎之前会先完成估值切换。

财通基金率先公告将适用新规

作为市场上最大的定增投资者,财通基金已率先发布公告称,将适用新的估值办法,对旗下相关基金对应持仓标的估值方法进行调整,调整当日可能会对基金净值产生一定影响,进而对投资者申购、赎回权益产生影响。

财通基金表示,公司以往折扣安全垫的投资策略与新估值方法在理念上多处暗合,预计影响不大,对于旗下基金持仓标的估值影响有涨有跌、总体方向不确定,也会随着时间的推移而发生变化。“新的估值方式充分考虑了流通受限股票的历史波动率因素和限售因素。归根究底,此次估值新政并不影响我们对标的本身投资价值的判断,只是影响了限售期间的估值水平,随着投资标的到期解禁,估值与实际投资价值差异将会消失,请大家切勿混淆、更不必恐慌。”

财通基金表示,从长远来看,新的估值方式在引导和促进长期价值投资、保障资本市场稳定等方面将起到积极深远的作用。(证券时报刘芬)

关于《证券投资基金投资流通受限股票估值业务指引(试行)》中三个期权公式的解读

一、流通受限股票按以下公式确定估值日该流通受限股票的价值。

FV=S×(1-LoMD)

其中:

FV:估值日该流通受限股票的价值

S:估值日在证券交易所上市交易的同一股票的公允价值

LoMD:该流通受限股票剩余限售期对应的流动性折扣。

二、引入看跌期权计算该流通受限股票对应的流动性折扣。

LoMD=P/S,P是估值日看跌期权的价值。

综合上面两步。

FV=S-P

解读:根据业务指引的做法,流通受限股票的价值是在估值日在证券交易所上市交易的同一股票的公允价值的计算上面减去了一个期限为整个锁定期的平值亚式认沽期权的价格,所以,流通受限股票的价值低于估值日在证券交易所上市交易的同一股票的公允价值。

未来参与流通受限股票的基金,与过去的基金估值方式相比,净值会有明显下降。而认沽期权的期权费会根据估值日流通股票的价格逐日计算,随着估值日接近锁定期到期日,流通受限股票的估值会接近流通股票的价格。

仅从期权费损失方面考虑,客户在流通受限股票锁定期间卖掉基金,就会有认沽期权费用的损失。而持有基金至锁定期结束,就不必损失认沽期权费。

三、证券投资基金持有的流通受限股票在估值日按平均价格亚式期权模型(“AAP模型”)确定估值日看跌期权的价值。

AAP模型公式如下所示:

AAP模型公式

其中:

S:估值日在证券交易所上市交易的同一股票的公允价值

T:剩余限售期,以年为单位表示

σ:股票在剩余限售期内的股价的预期年化波动率

q:股票预期年化股利收益率

N:标准正态分布的累积分布函数

解读:亚式期权与普通欧式期权的区别在于:在到期日确定期权收益时,不是采用标的资产当时的市场价格,而是用期权合同期内某段时间标的资产价格的平均值,这段时间被称为平均期,在对价格进行平均时,采用算术平均或几何平均。

亚式期权优势在于平滑认沽期权价格,以避免因为特殊事件(股价大幅波动)使得认沽期权的价格突然大幅变动。

四、样本范例

1、江淮汽车(600418.SH),2016年8月11日定增股票上市。假设不同周期的锁定期,根据增发日8月11日作为估值日,根据平均价格亚式期权模型(“AAP模型”)计算出的期权价格(绝对值及比例)如下:(期权费比例=T日期权费绝对值/T日股票价格)

样本范例

2、以江淮汽车(600418.SH)为例,假设有基金参与股票定增,将2016.8.11-2017.8.11日两种不同的计算方式得出的结果进行对比:

公允价值计算值:T日股票价格/初始日股票价格

加入认沽期权后的计算值:(T日股票价格-T日认沽期权价格)/初始日股票价格

江淮汽车(600418.SH)

从上图可以看出,认沽期权的价格变化较大,除了期权价格在到期日临近逐渐归零之外,认沽期权的价格变化与标的“江淮汽车”的波动率是正相关的,所以在标的波动率较高的日期,期权价格也较高,造成两种不同的计算方式得出的结果差距较大。

下图为标的“江淮汽车”的波动率走势图。

“江淮汽车”的波动率走势图

客户在2016.8.11-2017.8.11之间任意时间将基金卖出的话,都需要承担下图中相应的期权费用。

光大证券衍生产品部

关键字: 停牌证券asi
来源:亚式期权 编辑:零点财经

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